이번시간에 학습할 주제는 피타고라스의 모든 것 입니다. 피타고라스 정리와 구고현의 정리, 피타고라스 수와 피타고라스 수 만들기, 피타고라스 음계와 우리나라 음계, 발피아노 연주 등을 살펴보겠습니다. 영상목차입니다. 다음과 같은 순서로 영상을 살펴보시겠습니다. 피타고라스 정리란 기원전 580년전 고대그리스의 수학자 피타고라스가 처음발견하고 증명한 정리로 직각삼각형의 세변의 길이의 비에 관한 정리이다. 빗변의 제곱의 길이는 밑변의 제곱과 높이의 제곱을 더한 값과 같다는 내용입니다. 피타고라스 정리는 거리를 계산하고, 건물을 짓고, 터널을 뚫는 등 수많은 곳에서 쓰이며 현재까지 400여가지가 넘는 방법으로 증명되었습니다. 동양에도 이러한 정리가 있습니다. 기원전 1000년경 진자가 발견한 내용이 고대 중국의 천문∙수학서인 주비산경에서 ‘구고현의 정리’라는 내용으로 소개되었습니다. 빗변의 길이를 현, 높이를 구, 밑변의 길이를 고 라고 합니다. 구고현의 정리에 대해 좀 더 깊게 알아봅시다. 고대 중국에서 사람들은 팔을 직각으로 만들었을 때 윗부분을 구라 하고 팔의 아랫부분을 고라고 했으며 이들 양끝을 연결하면 직각삼각형이 된다. 그 빗변을 “현”이라고 한다. 그리고 후대에 사람들은 이것을 간단히 “구삼고사현오”라고 불렀다. “구고멱합이성현멱” 이는 “구와 고의 멱(제곱)의 합은 현의 멱(제곱)을 이룬다”는 뜻이다. 즉, 구의 제곱 더하기 고의 제곱은 현의 제곱과 같다. 주비산경에 나온 그림을 보면구, 고, 현의 길이의 비가 각각 삼 대 사 대 오 를 이룬다. 주비산경에서는증명 과정이 없이 그림만으로 소개한다. 이를 PWW- Proofs Without Words라 한다. 충북수학체험센터의 피타고라스 존에 가면 피타고라스 수 만들기를 볼 수 있습니다. 피타고라스 정리를 만족하는 세 자연수를 크기순으로 나열한 세 개의 수들을 일컫는 말입니다. 이때 피타고라스의 세 쌍을 찾는 방법을 한 가지 소개하자면 항등식 엠 플러스 일의 제곱은 엠 제곱 더하기 이엠 더하기 일을 이용하여 우변의 이엠 플러스 일이 완전제곱수가 되도록 엠의 값을 선택합니다. 그 다음 위에서 구한 엠의 값을 항등식에 대입합니다. 여기서 피타고라스의 세쌍을 구할 수 있습니다. 우측에 나와있는 수의 예시들은 극히 일부분입니다. 이후에도 많은 쌍들이 존재하니 여러분들도 한 번 구해보세요.피타고라스의 업적으로 피타고라스 음계도 있습니다. 우연히 대장간 옆을 지나다 서로 다른 음을 내는 대장장이들의 망치질에 주목해 발견해 내었다는 말이 있습니다. 이 음계들 사이에는 특별한 규칙이 있습니다. 이를 피타고라스 음계의 공리라 부릅니다. 첫째, 현의 길이를 이분의 일배 하면원래 음보다 완전 8도 높은 음이 된다는 것과 둘째로 현의 길이를 삼분의 이 배 하면원래 음보다 완전 5도 높은 음이 된다는 것입니다. 피타고라스 음계는 현의 길이가 삼분의 이 만큼 줄어들때 마다 도에서 솔, 솔에서 레, 레에서 라, 라에서 미, 미에서 시, 시에서 파, 파에서 도 이렇게 음이 높아집니다.그렇다면 1옥타브 현의 길이의 비를 구해볼까요? 옥타브와 완전5도, 완전4도를 기본으로 하여 나머지 음들의 현의 길이를 계산해보자. 도음에서 현의 길이를 삼분의 이 배 하여 솔음을 얻고, 여기서 현의 길이를 다시 삼분의 이 배 하면 결과적으로 구 분의 사 배가 되는데, 이는 솔음에서 완전5도를 높인 레음에 해당한다. 이 레음을 1옥타브 내리려면 현의 길이를 두 배 해야 하므로, 결과적으로 기준이 된 도음의 현의 길이를 구 분의 팔 배 하면 원래 옥타브 내의 레음을 얻을 수 있다. 레음에서 완전5도를 올리면 라음이 되는데, 현의 길이는 구 분의 팔 에 삼분의 이 배를 한 이십칠 분의 십육 이 된다. 라음에 대한 현의 길이인 이십칠 분의 십육 에서 삼분의 이 배 하면 팔십일 분의 삼십이 가 되며, 이는 라음에서 완전5도를 올린 1옥타브 위의 미음이 된다. 따라서 1옥타브를 내린 미음의 현의 길이는 팔십일 분의 삼십이 에 두 배를 한 팔십 일 분의 육십사 가 된다. 마지막으로 미음에서 완전5도를 올린 시음이 되려면 현의 길이는 팔십 일 분의 육십사 에 삼분의 이 배를 한 이백사십삼 분에 백 이십 팔 이 되어야 한다.진동수는 현의 길이에 반비례 하는 것 알고 계신가요? 피타고라스의 순정률에서 1 옥타브 내의 진동수 비는 다음과 같습니다. 아! 여기서 피타고라스 조율법에 대해 잠시 알려드리겠습니다. 피타고라스의 조율법은 5도 및 완전4도의 비율인 3 대 2 및 4 대 3의 비율에 기초한 조율법으로 정수의 비, 즉, 유리수의 길이를 써서 현의 길이를 조율하는 방법을 순정률이라고 통칭합니다. 이때 온음 즉,장2도 사이의 진동수의 비는 팔 분의 구 이고, 반음인 미음과 파음, 시음과 도음 사이의 진동수의 비는 이백 사십 삼 분의 이백 오십 육 입니다. 즉 진동수 사이의 비를 나열해 보면 다음과 같습니다. 이번에는 진동수가 현의 길이에 반비례한다는 것을 음계 별로 짚어 보겠습니다. 도와 솔간의 현의 진동수 비는 다음과 같습니다. 솔에서 이분의 삼을 곱하면 높은 레가 되어 사분의 구 배가 되고, 이를 낮은 레로 바꾸면 진동수가 절반으로 줄어 듭니다. 아래의 숫자들이 그 결과입니다. 레에서 라가 되면 현의 진동수는 다시 이분의 삼 배 커집니다. 라에서 높은미가 되면 진동수가 이분의 삼 배 커지는 데 낮은 미로 돌아가면 진동수는 다시 절반으로 줄어 듭니다. 미에서 시로 높아지면 현의 진동수는 다시 이분의 삼배 만큼 커지게 됩니다. 이러한 방법으로 얻어진 한 옥타브 내의 현의 진동수 비는 다음과 같은 결과로 나타납니다. 그럼 이제 우리나라의 음계를 한 번 알아볼까요? 악학궤범이란 조선 성종 24년 즉 1493년에 편찬된 우리 국악 이론서로 우리나라의 음계를 살펴볼 수 있습니다. 우리나라 12율을 만드는 관의 길이를 살펴보겠습니다. 이때, 관의 길이를 측정하는 단위로 촌이라는 단위를 쓰는데 약 삼점 영삼 센티미터 정도에 해당하는 길이입니다. 우리나라의 음계를 나타내는 황종, 태주, 고선, 유빈, 이칙, 무역 이라는 단어들이 생소하죠? 이는 피타고라스 음계의 도, 레, 미, 파 샵, 솔 샵, 라 샵에 해당하는 음입니다. 우리나라 12율에는 삼분손익법이 사용됩니다. 삼분손인법은 삼분손일과 삼분익일로 구분되는데 삼분손일은 삼등분한 것 중에서 하나를 버리는 것으로 일에서 삼분의 일을 뺀 삼분의 이를 말합니다. 삼분익일은 삼분손일한 것을 삼등분하여 하나를 더하는 것으로 삼분의 이와 삼분의 사를 곱하면 이는 구분의 팔 입니다. 우리나라 음계 12율을 피타고라스 음계와 비교해 보았습니다. 도에서 시까지를 우리나라 음계인 황종에서 응종으로 다음과 같이 표기할 수 있습니다. 여기서 흥미로운 것은 앞에서 삼분손익법에 따라 계산을 한 결과를 살펴볼 수 있다는 것입니다. 도 음에 해당하는 황종의 음을 내는 현의 길이를 81이라 두면 솔음에 해당하는 임은 54, 레 음에 해당하는 태는 72, 라 음에 해당하는 남은 48, 미 음에 해당하는 고 는 64를 나타냅니다. 앞에서 나열한 12율의 모든 음 사이의 관계를 계산해본 결과가 다음과 같습니다. 황종, 임종, 태주, 남려, 고선, 응종, 유빈, 대려, 이칙, 협종, 무역, 중려, 높은 음 황종으로 길이의 비를 나타내었을 때, 3으로 나누어 떨어져 만들어진 황종에서 고선까지 다섯음을 정음, 3으로 나누어 떨어지지 않은 수인 응종에서 중려까지의 일곱 음을 변음이라 합니다. 흥미롭죠? 악학궤범 속에서 우리나라의 음계 사이의 현의 길이의 비를 정리해 보면 다음과 같습니다. 자, 이제 피타고라스 존으로 가는 길을 살펴볼까요? 발피아노를 사용하는 예시를 함께 보겠습니다. 발피아노를 사용할 때는 신발을 벗고 올라가서 사용해야 합니다. 이번에는 둘 이서 함께 연주하는 예시를 보겠습니다. 여러 분도 충북수학체험센터에 방문해서 피타고라스에 대한 모든 것들을 함께 경험해 보세요. 피타고라스 정리의 새로운 증명에 도전해보기도 하고 친구와 함께 발을 맞춰 연주도 해보세요. 지금까지 시청해주셔서 감사합니다.
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