정다면체의 뜻은 무엇일까요? 정다면체란, 모든 면이 서로 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 모두 같은 다면체입니다 이러한 정다면체는 세상에 오직 다섯개뿐이죠
정사면체는 정삼각형 네개가 모여 만들어지며, 한 꼭짓점에 세개의 면이 모입니다
정육면체는 여섯개의 정사각형이 모여 만들어지며, 한 꼭짓점에 세개의 면이 모입니다
정팔면체는 정삼각형 여덟개가 모여 만들어지며, 한 꼭짓점에 네개의 면이 모입니다
정십이면체는 정오각형 열두개가 모여 만들어지며, 한 꼭짓점에 세개의 면이 모입니다
정이십면체는 정삼각형 스무개가 모여 만들어지며, 한 꼭짓점에 다섯 개의 면이 모입니다 이렇게 어느 한쪽으로 치우치지 않고 균형을 이루는 정다면체가 가지고 있는 비밀이 무엇인지 아시나요? 바로 정다면체 속에 또 다른 정다면체가 존재한다는 것입니다
정육면체 속에는 어떤 정다면체가 숨겨져 있을까요?
먼저 정육면체의 각 면의 중심에 점을 찍고 이 점들을 연결합니다
그랬더니 정육면체 안에 정팔면체가 들어있는 것을 확인할 수 있습니다
다시, 이 정팔면체에서 각 면의 중점을 연결해볼까요?
자, 이렇게 정팔면체 속에는 정육면체가 생깁니다.
이렇게 서로 끊임없이 반복되는 두 다면체의 관계를 쌍대라고 부릅니다
정십이면체에서 각 면에 중점을 찍고 연결하면
정이십면체가 나옵니다
다시 정이십면체의 각 면의 중점을 연결하면?
바로, 정십이면체가 나옵니다
그래서 정십이면체와 정이십면체도 서로 쌍대입니다 이번엔 정사면체를 살펴볼까요?
정사면체에서 각 면의 중점을 찍어 연결하면
다시 정사면체가 나옵니다 이 정사면체에 같은 과정을 반복하면 마찬가지로 정사면체가 나오죠
따라서 정사면체의 쌍대 관계는 정사면체 자신입니다
혹시 여러분도 축구를 좋아하시나요? 저는 축구를 굉장히 좋아하는데요, 그 이유는 축구공에는 정다면체와 관련된 수학적 비밀이 숨어있기 때문입니다 이 비밀을 알기 위해 과거로 돌아가볼게요
고대 그리스의 수학자 아르키메데스는 특이한 모양의 다면체를 발견하였습니다
정사면체를 이루는 정삼각형의 각 변을 삼등분합니다
그리고 꼭짓점의 삼등분 점을 모두 선분으로 연결하면 한 면에 육각형 하나와 삼각형 세 개가 만들어집니
이제 정사면체의 각 꼭짓점을 평면으로 깎아내면 새로운 모습의 다면체가 되는데요
꼭짓점마다 정육각형 두 개와 정삼각형 한개가 배열되어 있다는 것을 확인할 수 있죠
이렇게 꼭짓점에 모인 면의 개수가 일정하고 두 종류 이상의 정다각형으로 이루어진 다면체를 준정다면체라고 합니다
정사면체의 꼭짓점 부분을 잘라내서 만든 준정다면체는 깎은 정사면체입니다
정육면체의 각 꼭짓점 부분을 평면으로 잘라내면 정삼각형과 정팔각형으로 이루어진 깎은 정육면체가 되죠
정팔면체의 각 모서리의 삼등분 점을 선분으로 연결하여 꼭짓점 부분을 평면으로 잘라내면 깎은 정팔면체가 됩니다
정십이면체의 경우는 정삼각형과 정십각형으로 이루어진 깎은 정십이면체가 됩니다
정다면체 다섯 개의 각 꼭짓점을 깎거나 각 면을 늘려서 만들 수 있는 준정다면체는 모두 열세개이며 이들을 아르키메데스의 다면체라고도 부릅니다
그 중 정오각형과 정육각형으로 이루어진 준정다면체, 이름 그대로 정이십면체를 깎아 만든 깎은 정이십면체를 볼까요? 축구공과 많이 닮았죠
그렇다면 많은 다면체 중 깎은 정이십면체가 축구공이 될 수 있었던 이유는 무엇일까요? 그 비밀은 바로 축구공에 있는 정오각형과 정육각형에 있습니다
공간 활용도가 높은 정육각형으로만 이루어진 면이 있다면
한 꼭짓점에 모인 각들의 합이 삼백육십도가 되어 입체도형을 만들 수 없습니다
반면 한 꼭짓점에 모이는 정오각형의 내각과 정육각형 두 개의 내각을 합하면 삼백사십팔도가 되므로 입체도형을 만들 수 있습니다
이러한 깎은 정이십면체는 둥근 구에 가장 가까우면서 동시에 축구공의 재료인 가죽을 가장 경제적으로 사용할 수 있습니다
정다면체를 이용하여 축구공까지 만드는 수학, 이렇게 우리를 즐겁게 해주는 정다면체의 비밀이 어디에 숨어있을지 여러분이 이제부터 직접 찾아볼까요?
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