고대 그리스의 철학자였던 탈레스는 오늘날 수학의 기초를 세운 최초의 수학자라 불리는데요. 어린 시절부터 모든 현상을 주의깊게 관찰하고 연구했던 탈레스는 문제해결사라 명성이 자자했고, 가는 곳마다 어려움을 해결해달라는 사람들로 줄을 이뤘다고 합니다. 10만명의 사람이 20년에 걸쳐 쌓아 올렸다는 이집트의 자랑, 피라미드. 탈레스는 이 거대한 피라미드의 높이를 측정했다는 유명한 일화도 있습니다. 탈레스의 명성이 이웃나라까지 전해지면서 피라미드의 높이를 구해달라는 이집트왕의 요청이 있었기 때문이죠. 피라미드 높이를 구하기 위해 탈레스가 생각해낸 것은 작은 막대기 하나였습니다. 막대 하나로 어떻게 피라미드 높이를 구할 수 있었을까요? 탈레스는 시간에 따른 태양의 위치에 따라 사물의 그림자 길이가 달라진다는 사실에 주목했다고 합니다. 삼각형의 닮음을 이용하여 수직으로 세운 막대의 길이와 그 그림자의 길이가 같아질 때 피라미드 그림자의 길이를 재어 피라미드의 높이를 측정했습니다. 막대 그림자 길이와 피라미드 그림자 길이가 비례하는 만큼 피라미드의 높이 역시 막대 길이와 비례할 것이라고 생각한 것입니다. 탈레스는 바로 이 비례식을 풀어서 피라미드의 높이를 구했습니다. 피라미드 높이를 구하는 비례식은 막대길이 : 막대 그림자 길이 = 피라미드 높이 : 피라미드 그림자의 길이입니다. 따라서 막대 길이 × 피라미드 그림자의 길이= 막대 그림자 길이×피라미드 높이이고, 는 피라미드 높이가 되는 것이죠. 만약 막대 길이가 1미터, 막대 그림자의 길이가 1.2미터, 피라미드 그림자 길이가 30미터라고 가정한다면 피라미드 높이를 구할 수 있는 방정식을 유추해내 그 값을 구할 수 있습니다. 이렇게 탈레스가 피라미드의 높이를 구했던 방법은 ‘닮은 두 직각삼각형에서 대응하는 변의 길이의 비는 같다’는 성질을 이용한 것으로 삼각비가 나오게 된 시작이었습니다. 삼각비를 이용하여 삼각형의 변의 길이, 각의 크기, 넓이 등을 구하는 것을 삼각법이라고 하는데요. 이처럼 고대 이집트, 바빌로니아, 중국 등에서 삼각법에 대한 오래된 기록이 있으나 삼각비를 체계적으로 연구한 최초의 학자는 고대 그리스의 천문학자 히파르코스입니다. 히파르코스는 삼각법을 이용하여 지구에서 달까지의 거리를 구했는데요. 산에 올라가 수평선을 보던 히파르코스는 시선과 지구의 반지름이 직각이라고 할 때, 시선과 자신이 이루는 각도가 87.46도라는 걸 알아냅니다. 각도가 87.46도 일 때 직각삼각형의 가 0.99924 임을 알았던 그는 이를 이용해 지구의 반지름을 계산해냅니다. 지구 반지름의 길이를 r마일이라고 하고 지구의 중심에서 히파르코스가 올라가 있는 산의 높이까지 더하면 r+3마일입니다. r+3 분에 r을 0.99924 라 하면 r은 3944.37이고, 이를 km로 변환해보면 약 6311km입니다. 현대 과학 기술로 측정한 지구의 반지름의 길이가 대략 6400km인 것을 볼 때 히파르코스의 측정법이 거의 정확했다는 것을 알 수 있습니다. 히파르코스는 삼각형의 한 각과 그와 마주보는 변의 길이의 비율을 측정한 표를 만들었고, 그의 표는 프톨레마이오스 책을 통해 후대에 전해지는데요. 바로 오늘날 삼각비 사인의 기원이 되는 표입니다. 이런 이유로 히파르코스는 ‘삼각법의 아버지’라 불립니다. 직접 잴 수 없는 거리를 삼각비를 이용해 구하고자 했던 고대 천문학자들의 아이디어는 오늘날까지도 측량의 기본이 되어 다양한 분야에서 널리 사용되고 있습니다. 이처럼 삼각비를 잘 알고 있으면 연결하기 어려운 지점과 지점 사이의 거리를 측정할 수 있습니다. 산꼭대기나 산에서 서로 떨어져 있는 두 마을의 거리, 별과 별 사이, 바다 한가운데에 떠 있는 배와 항구의 거리 등을 구할 수 있어요. 또한 대형 쇼핑몰 안에서 탑승객이 어지러움을 느끼지 않도록 에스컬레이터의 경사를 30도 이하로 낮추고 스키장의 슬로프를 14도 이하로 맞춰 안전한 경사각이 되도록 만들 때에도 삼각비가 쓰입니다. 하늘을 연구하며 시작된 수학, 삼각비. 삼각비는 이밖에도 여러 분야에서 측정이 불가능하다고 생각했던 곳들을 척척 계산해내고, 첨단 과학의 깊은 곳까지 자리잡고 있습니다. 여러분도 실생활 속에서 활용되는 삼각비의 예를 찾아보세요!
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