1. 안녕하세요! 중학교때 평행이동에 대해서 배우고 고등학교 와서 평행이동과 대칭이동에 대해서 배웠습니다. 다양한 도형의 이동의 의미를 파악하고 이를 이용하여 띠 문양을 알아보겠습니다.

2. 우선 도형의 이동인 평행이동과 대칭이동을 복습해봅시다. 복습할 때 평행이동의 식과 대칭이동의 식이 어떻게 변하는지를 초점을 두기보다 도형이 어떻게 변하는지 초점을 두고 복습을 해봅시다. 평행이동은 점을 평행이동시킬 수 도 있고 도형을 평행이동 시킬 수 있습니다. 왼쪽 그림을 보면 점(1,2)를 x축방향으로 2만큼, y축방향으로 3만큼 평행이동 하면 점이 (3,5)가 됩니다. 오른쪽 그림은 원을 이동시켰는데요 원을 x축방향으로 3만큼, y축방향으로 1만큼 평행이동 하면 오른쪽으로 3칸 이동 위쪽으로 1칸 이동한 것을 알 수 있습니다.

3. 이번엔 대칭이동입니다. 대칭이동은 x축 대칭이동, y축 대칭이동, 원점대칭이동이 있습니다. 선생님이 하트를 그렸는데요 x축 대칭이동은 하트모양을 x축을 기준으로 대칭시키면 다음과 같은 모양이 됩니다. y축 대칭이동도 하트모양을 y축 기준으로 대칭시키면 다음과 같은 모양이 됩니다.

4. 마지막으로 원점대칭이동은 원점을 기준으로 하트모양을 대칭시키면 다음과 같은 모양이 됩니다.

5. 선생님과 복습을 해보았으니 다음 제 1사분면에 있는 발바닥 그림을 보고 주어진 대칭이동을 해봅시다. 다들 머릿속으로 어떻게 대칭이동이 되는지 상상을 해보았나요? x축 대칭이동은 발바닥모양을 x축을 기준으로 대칭시키면 다음과 같은 모양이 되고 y축 대칭이동은 발바닥모양을 y축을 기준으로 대칭시키면 다음과 같은 모양이 되고 원점 대칭이동은 발바닥모양을 원점을 기준으로 대칭시키면 다음과 같은 모양이 되는 것을 알 수 있습니다.

6. 수원 화성에는 행궁을 비롯하여 다양한 건물이 있습니다. 돌은 담을 쌓는데 쓰이고, 나무는 건물을 짓는데 쓰입니다. 나무를 비바람과 병충해로부터 보호하기 위해 칠공사를 합니다. 이것을 단청이라 부릅니다. 여기에 다양한 그림을 넣어 색을 칠해 놓은 것을 단청, 단청 무늬 또는 단청 문양이라 부릅니다. 단청은 청, 적, ,황, 백, 흑 이 다섯가지 색을 기본으로 사용하여 색을 칠하며 이 작업은 건물을 아름답게 보이게도 하지만 장엄함과 신성함 마저 느끼게 만듭니다. 단청에는 어떤 수학이 있는지 도형의 이동과 띠의 관점으로 지금부터 알아봅시다. 우선 띠와 기본조각의 의미를 알아봅시다. 띠는 일정한 조각이 일직선 좌우를 따라 계속 반복하여 나타나는 전체 문양입니다. 기본조각은 띠를 만들 때 사용되는 최소한의 일정한 조각을 말합니다. 오른쪽 그림을 보면 빨간색의 모양이 계속 반복되어 위쪽과 같은 띠가 나오는 겁니다. 즉 기본조각이 일직선 좌우로 계속 이어져 있는 것을 띠라고 생각하면 됩니다.

7. 띠문양을 만들 때 이용되는 4가지 이동이 있습니다. 상하 대칭이동, 좌우 대칭이동, 180도 회전이동, 미끄럼 대칭이동

8. 상하 대칭이동 띠문양은 기본조각을 점선으로 표시된 축을 중심으로 상하 대칭을 시켜도 원래의 기본조각과 같은 문양이 될 때 상하대칭이동 이라 말합니다.

9. 좌우 대칭이동 띠문양은 기본조각을 점선으로 표시된 축을 중심으로 좌우 대칭을 시켜도 원래의 기본조각과 같은 문양이 될 때 좌우대칭이동 이라 말합니다.

10. 180도 회전이동 띠문양은 기본조각의 중심을 기준으로 180도 회전을 시켜도 원래의 기본조각과 같은 문양이 될 때 180도 회전이동 이라 말합니다.

11. 미끄럼 대칭은 처음 들어봤을텐데요! 미끄럼 대칭이동은 어ᄄᅠᆫ 도형이 자신의 너비의 반 만큼 오른쪽으로 이동후 상하 대칭을 시킨 것을 말합니다.

12 예를 들면 이 점선에 있는 한 도형에만 집중해봅시다. 선택한 점선으로 표시된 도형의 너비의 반만큼 오른쪽으로 이동시켜봅시다. 그런 다음 점선으로 표시된 축을 중심으로 상하 대칭을 시키면 그 결과로 만들어진 도형이 좌우로 반복되는 도형에서 원래의 도형과 같음을 알 수 있습니다.

13. 이 4가지를 이용하여 띠의 문양을 만들면 180도 회전이동, 상하대칭, 좌우대칭, 미끄럼 대칭의 속성이 있는가? 없는가?로 생각하면 2 곱하기 2곱하기 2곱하기 2 즉 2의 4제곱 16가지가 나옵니다. 오른쪽 표를 보면 16가지가 나오는 것을 알 수 있습니다.

14. 그런데 16가지 모두 존재하나요? 아님 같아지는 경우가 있지 않을까요? 불가능하거나 같아 지는 경우가 존재합니다. 첫 번째로 180도 회전, 상하 대칭, 좌우 대칭의 경우 이중 어느 두 개가 있으면 나머지 하나와 같게 됩니다. 이게 무슨말이냐 하면 예를 들면 발바닥 그림이 있습니다. 발바닥을 상하 대칭하고 좌우 대칭 한 것은 180도 회전한것과 같음을 확인할 수 있습니다. 상하 대칭과 180도 회전은 좌우대칭과 같게 되겠죠?

15. 두 번째로는 상하대칭과 미끄럼 대칭은 동시에 존재할 수 없습니다. 예를 들면 발바닥 띠 문양이 있습니다.

16. 세 번째로는 180도 회전, 좌우대칭, 미끄럼 대칭은 동시에 존재할 수 없습니다. 왜냐하면 180도 회전, 좌우 대칭, 미끄럼 대칭이 동시에 존재한다고 하면 앞에서 살펴본 1에 의하여 180도 회전, 좌우 대칭이 존재하므로 이는 상하대칭이 같게 됩니다. 그러면 상하 대칭과 미끄럼 대칭이 동시에 존재하므로 이는 2와 같은 이유로 모순이 됩니다. 따라서 180도 회전, 좌우 대칭, 미끄럼 대칭은 동시에 존재할 수 없습니다.

17. 이런 세가지 이유로 불가능거나 같게 되는 경우를 나눌수 있습니다.

18. 가능한 띠의 문양을 표로 정리하면 다음과 같습니다. 다음 표의 8가지가 가능한데요 위의 표에두번째 180도 회전과 미끄럼 대칭이동만 존재하는 경우, 기본조각은 다르지만 기본조각에 의해 만들어지는 띠의 모양은 같습니다. 예를 들어 보면 같은 띠의 문양인데 다으과 같이 두가지 방법으로 기본조각을 택해봅시다. 첫 번째는 기본조각을 다음과 같이 선택하면 180도 회전과 미끄럼 대칭을 갖는 경우이고 두 번째는 기본조각을 다음과 같이 선택하면 좌우대칭과 미끄럼 대칭을 갖는 경우지만 두 띠의 모양은 같습니다

19. 따라서 최종적으로 띠의 문양의 종류는 다음과 같이 7가지가 됨을 알 수 있습니다

20. 우리가 찾은 7가지 띠의 문양을 발바닥 모양으로 살펴봅시다. 첫 번째는 평행이동입니다. 기본 도형을 옆으로 평행이동 시킨 모양입니다. 두 번째는 미끄럼 대칭이동 하고 평행이동입니다. 미끄럼 대칭이동 한뒤 평행이동 하면 띠 문양이 다음과 같습니다. 세 번째는 좌우 대칭이동 하고 평행이동입니다. 좌우 대칭이동 한뒤 평행이동 하면 띠 문양이 다음과 같습니다. 네 번째는 상하 대칭이동 하고 평행이동입니다. 상하 대칭이동 한뒤 평행이동 하면 띠 문양이 다음과 같습니다.

21. 다섯 번째는 좌우 대칭이동 및 미끄럼 대칭이동 하고 평행이동입니다. 좌우대칭이동을 한 뒤 미끄럼 대칭이동 하고 평행이동 하면 띠 문양이 다음과 같습니다. 여섯 번째는 상하 대칭이동 및 좌우 대칭이동 하고 평행이동입니다. 상하대칭이동을 한 뒤 좌우 대칭이동 하고 평행이동 하면 띠 문양이 다음과 같습니다. 마지막으로 회전이동하고 평행이동입니다. 회전이동을 하고 평행이동을 하면 띠 문양이 다음과 같습니다.

여기까지 도형의 이동을 이용하여 띠 문양에 대해 알아보았습니다. 우리가 배운 내용을 통해서 나만의 띠 문양을 만들어봅시다. 오늘의 수학자 명언입니다. 화가나 시인처럼 수학자도 패턴을 만들어 낸다. 수학자의 패턴은 그듯의 것보다 더 영원하다고 할 수 있는 이유는 그것이 생각으로 만들어지기 때문이다. 하디 하디는 화가는 형상이나 색깔로, 시인은 언어로 패턴을 만들지만, 수학자는 오로지 생각만으로 패턴을 만들기 때문에 시간에 구애받지 않고 오래 지속된다는 의미로 이야기 했습니다. 여행을 가서 단청을 본다면 이제는 기본도형과 어떤 도형의 이동으로 단청을 만들 수 있는지 찾을 수 있겠죠? 이상 도형의 이동으로 띠문양 만들기였습니다.