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<고등수학, 생각넓힘> 쉽고 재미있는 증명(자연수의 합) 게시글 상세정보
<고등수학, 생각넓힘> 쉽고 재미있는 증명(자연수의 합)
작성자 융합인재부 이메일
조회 1537 등록일 2021/11/01
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<고등수학, 생각넓힘>
쉽고 재미있는 증명(자연수의 합)
 
이번 시간에는 자연수의 합을다양한 규칙을 가지고 쉽고 재미있게 증명해 보도록 하겠습니다. 수학 이래서 단어 시그마 기호를 배우고 여러 가지 수열의 합, 자연수의 합, 자연수 제곱의 합, 자연수 세제곱의 합을 식으로 유도하고 그 결과를 실전문제에서 활용하기 위해서 암기를 했습니다.

식을 한 번 더 살펴보면 자연수의 합은 (n(n+1))/2, 제곱의 합은 (n(n+1)(2n+1))/6 세제곱의 합은 {(n(n+1))/2}² 교과서에서 주어진 식을 어떻게 유도했었는지 기억하시나요?

자연수의 합은 앞 단원에서 등차수열을 배웠을 때 첫째항이 1이고 공차가 1인 등차수열의 첫째항으로부터 제 n항까지의 등차수열의 합 공식을 이용하여 (n(n+1))/2를 유도했습니다.

자연수 제곱의 합은 어떻게 유도 했는지 기억하나요? 1학년 때 배운 곱셈 공식을 이용하여 다음과 같이 식을 정리했어요. 자연수 세제곱의 합도 같은 방법으로 증명했습니다. 제곱의 합이나 세제곱의 합은 그 과정이 복잡하지만 다른 문제 유형의 풀이 전략으로 쓰이기 때문에 그 과정을 살펴보고 이해할 필요가 있습니다.

자연수의 합, 자연수의 합을 구하는 과정은 많이 알려져 있어서 여러분이 한 번쯤은 보셨을 겁니다. 왼쪽 도형은 1부터 n까지의 자연수의 합이 두 번 더해졌고 오른쪽 도형은 두 도형의 합친 도형 가로가 한 개 더 많죠. n+1, 세로는 n, (n+1) * n개 색칠된 도형을 단위로 세고 있습니다. 이를 정리하면 왼쪽에 두 번 더해진 값을 오른쪽 2로 나누어주면 우리가 알고 있는 자연수의 합 1부터 n까지의 합 (n(n+1))/2을 유도할 수 있습니다.

자연수의 합을 나타낼 수 있는 방법은 여러 가지가 있습니다. 한 가지만 더 소개해 보겠습니다. 이번에는 자연수의 합을 넓이로 접근해 볼게요. 우리가 사각형 한 칸의 넓이를 1이라고 했을 때 왼쪽에 색칠된 도형의 넓이는 1부터 6까지 자연수의 합입니다. 오른쪽 도형 색칠된 도형을 이렇게 볼게요. 대각선을 기준으로 큰 직각 삼각형의 넓이와 작은 직각삼각형 모두 몇 개이죠 여섯 개의 넓이의 합으로 나타내 볼게요. 큰 직각삼각형의 넓이는 가로 6 * 세로 6 그리고 삼각형의 넓이니까 1/2 그리고 작은 삼각형의 넓이는 하나의 사각형의 넓이가 왼쪽에서 1로 잡았기 때문에 작은 직각 삼각형의 넓이는 1/2이 되고 그 삼각형의 여섯 개가 있죠. 계산을 하는 게 목적이 아니라 식의 모양 우리가 일반화를 해야 하기 때문에 어떻게 계산이 되었는지 그 과정을 식으로 표현해 주고 있습니다. 2분의 가로 곱하기 세로 6², 2분의 6이 부분도 다시 일반화를 시키면 좌변 1부터 n까지 자연수의 합은 큰 삼각형의 넓이 n²/2, 작은 삼각형의 넓이 1/2 * n 앞서 확인했듯이 (n(n+1))/2 자연수의 합을 구하는 식과 일치한다는 것을 알 수 있습니다. 이제 조금 더 다양한 규칙을 가지고 자연수들의 합을 살펴보겠습니다.

홀수의 합, 홀수의 합은 교과서에서 등차수열의 합으로 n², 첫째항이 1이고 공차가 2인 등차수열의 합으로 식을 구했습니다. 또는 시그마 기호를 이용해서 앞에서 배운 자연수의 합 (n(n+1))/2을 가지고 식을 구하기도 했어요. 그렇다면 도형을 이용해서 증명하는 방법 어떤 방법이 있을까요.

그림을 살펴보겠습니다. 왼쪽에 있는 그림은 빨간색으로 색칠된 도형이 한 칸입니다. 오른쪽 그림을 빨간색 도형이 한 칸 주황색 도형이 세 칸 그래서 두 번째 그림이 나타내는 건 1+3 전체 도형의 색칠된 도형의 개수는 2 * 2 = 2² 어떤 규칙 인지 보이시나요. 그럼 다음 그림을 한번 볼게요. 여러분이 보는 화면에서 세 번째 그림은 빨간색이 1, 주황색이 3, 노란색이 5, 1부터 5까지 홀수들의 합을 이렇게 모양을 색칠된 모양을 3 * 3 = 3²으로 나타냈습니다. 네 번째 도형은 빨간색, 주황색, 노란색, 초록색 1+3+5+7=3*3=3²입니다. 홀수들의 합을 그림과 같이 규칙을 가지고 배열을 하면 자연수의 제곱으로 나타낼 수 있음을 보여주는 겁니다.

이 규칙을 가지고 마지막 그림으로 일반화를 한번 시켜 봅시다. 앞에서 설명했듯이 왼쪽 도형이 의미하는 것은 1+3+5+7+9=5*5=5² 이를 일반화하면 1부터 (2n-1)까지 홀수들의 합 모두 개수가 몇 개죠? n개입니다. n개의 홀수들의 합은 앞에서 5개 홀수의 합 5²인 것처럼 n개의 홀수들의 합이 n² 앞에서 등차수열의 합이나 시그마 자연수의 합으로 나타낸 식과 일치함을 알 수 있습니다.

자연수 제곱의 합, 자연수 제곱의 합은 앞서 배운 홀수의 합을 이용해 정리할 수 있습니다. 그림을 보시면 색칠된 칸에 수가 1², 2², 3², 4² 각각의 자연수의 제곱은 홀수들의 합으로 표현할 수 있습니다. 이 전체 색칠된 4개의 도형을 하나로 나타내 보면 오른쪽 그림과 같이 빨간색 도형은 한 칸씩 4줄 주황색 도형은 세 칸씩 3줄, 노란색 도형은 다섯 칸식 2줄 초록색은 일곱 칸 1줄입니다. 오른쪽 도형 색칠된 도형은 결과적으로 1² + 2² + 3² + 4² 자연수 제곱의 합입니다.

이 그림을 다시 한번 살펴 보면 왼쪽, 오른쪽 색칠 되지 않은 도형을 살펴볼게요. 왼쪽 빈 칸을 보라색으로 색칠했습니다. 연한 보라색과 조금 더 진한 보라색을 살펴보면 1² + 2² + 3² + 4² 왼쪽 보라색과 오른쪽 보라색에도 자연수 제곱의 합이 나타납니다. 결과적으로 전체 색칠된 도형은 자연수 제곱의 합 1부터 4까지 그 갯수가 모두 세 번 있습니다.

다음 그림에서 한 번 더 정리를 해 보면 우리가 구한 자연수의 제곱의 합 1부터 4까지 3번 나온다. 어떻게 볼 수 있냐면 전체 도형, 사각형으로 접근한다면 가로에 몇 칸이죠. 색칠된 초록색의 양쪽으로 두 칸 더, 7+2 그리고 세로는 1, 2, 3, 4 실제로 여기를 9 곱하기 10으로 해도 되지만 9라는 수가 어떻게 나왔는지 그리고 10이라는 수가 어떻게 나왔는지 과정으로 식을 써주는 것입니다. 정리해보면 오른쪽 그림에서 가로의 칸 수는 네 번째 홀수 + 2, 다섯 번째 홀수라는 하는 얘기죠. 세로의 칸 수는 1부터 4까지 자연수의 합입니다. 1의 제곱은 n의 제곱까지 자연수 제곱의 합은 전체 세 번 나타났다 곱하기 3, 가로는 n번 째 홀수 +2, (n+1)번 째 홀수 그리고 세로의 개수는 1부터 까지 자연수의 합 자연수 제곱의 합을 , 자연수의 합 그리고 양변을 3으로 나눈 수 우리가 교과서에서 정리한 식 (n(n+1)(2n+1))/6이 나온다는 것을 확인할 수 있습니다.

자연수 제곱의 합을 다른 방법으로 살펴볼 수 있습니다. 자연수 제곱을 홀수들의 합으로 먼저 표현하고 오른쪽 그림과 같이 삼각형 배열로 나타납니다. 그리고 방금 한 배열을 시계방향으로 돌려서 두 번 더 배열합니다. 배열 순서를 화살표로 나타내 볼게요. 첫 번째 그림에서, 두 번째 그림에서는 시계방향으로 돌려서 배열을 하니까 세 번째 그림에서 어떻게 변하는지 이해가 됐나요. 그러면 지금 첫 번째 그림, 두 번째 그림, 세 번째 그림 모두 다 자연수 제곱의 합입니다. 그런데 세 그림의 각각 같은 위치에 놓인 수를 더하면 7이 나타나 이 그림은 결과적으로 첫 번째, 두 번째, 세 번째 모두 다 1² + 2² + 3²을 나타내는 데 그 값이 3번 3개를 더했다는 뜻이죠. 오른쪽에서는 7이 몇 번 더해졌나요. 한 개, 두 개, 세 개. 즉 7 * (1 + 2 + 3)
이를 일반화시켜 보겠습니다. 각각 자연수 제곱의 합을 3번 시계 방향으로 돌려서 더해주면 n번째 홀수 다음 (n+1)번째 홀수 즉 (2n+1)이 나타납니다. 몇 번 줄 단위로 1번, 2번, 3번, …, n번 홀수 곱하기 1부터 n까지 자연수의 합이죠. 그래서 정리해주면 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

자연수 세 제곱의 합, 이제 세 번째 주제이기 때문에 여러분이 더 쉽게 정리할 수 있을 거예요. 세 제곱의 합을 오른쪽 그림과 같이 표현했습니다. 오른쪽 그림을 살펴보고 세제곱의 합을 어떻게 나타내야 할지 고민해 보세요.

첫 번째 그림은 1의 세제곱을 1² * 1으로 표현한 그림입니다. 두 번째는 주황색이 더 칠해졌죠. 더 칠해진 칸의 수를 세어보면 2²
세 번째 그림은 노란색이 양쪽으로 더 칠해졌는데 그 칸에 수가 2²이죠. 그래서 세 번째 그림은 빨간색 1² * 1 주황색과 노란색, 이 주황색 하나, 노란색 하나 두개 세 번째 그림은 앞에 주황색까지 칠한 도형에 3², 9칸이 초록색으로 더 칠해졌습니다. 그리고 양쪽으로 파란색 3²이 식으로 표현하면 빨간색 1² * 1, 주황색과 노란색 2² * 2 초록색과 파란색 3² * 3 규칙 보셨나요. 1² * 1빨간색 , 2² * 2주황색과 노란색 3² * 3 초록색과 파란색, 4² * 4 남색 보라색과 양쪽 연보라색을 더 하면 4²이 하나 더 더해지죠. 전체의 칸의 수는 바로 빨간색부터 연보라색까지 가로 1, 2, 3, 4, 세로 빨간색, 노란색, 파란색, 연보라색 1부터 4까지 자연수의 합이 두 번 곱해졌죠. 이 식을 일반화하면 세제곱에 합은 자연수의 합에 전체 제곱 우리가 정리한 식 {(n(n+1)/2)}² 입니다. 여러분이 식의 결과를 외워 계산하는 것보다 그 식을 유도하는 과정 그리고 다른 방법으로 증명하는 과정을 관심 있게 살펴본다면 수학이 조금 더 재미있을 수 있습니다.

오늘의 수학자 아인슈타인 나는 똑똑한 것이 아니라 단지 문제를 더 오래 연구할 뿐이다.
선생님은 여러분이 수학을 고민하고 그 고민하는 시간 동안 즐거움을 찾을 수 있었으면 좋겠습니다. 이상입니다.
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